Как да намерите на ъгъла между двата вектора

Вектор - сегмент с дадена посока. Ъгълът между векторите е физическа стойност като когато дължината вектор на проекцията върху оста.

Ъгълът между двете ненулеви вектори се определя чрез изчисляване на скаларен продукт. Чрез определянето на скаларен продукт е продукт на дължините на векторите на косинус на ъгъла между тях. От друга страна, скаларен продукт на два вектора с координати (х1; Y1) и б координати (х 2; Y2) се изчислява по формулата: AB = Х1Х2 + y1y2. От тези два метода за намиране на скаларен продукт е лесно да се намери на ъгъла между векторите.

Да се ​​намери дължината на векторите или модули. За нашите вектори А и Б: | а | = (X1² + y1²) ^ 1/2, | б | = (X2² + y2²) ^ 1/2.

Намери скаларен продукт на вектори, умножаване позицията си по двойки: AB = Х1Х2 + y1y2. От дефиницията на скаларно произведение аб = | а | * | Б | * защото # 945;, където # 945; - ъгълът между векторите. След това ние откриваме, че Х1Х2 + y1y2 = | а | * | Б | * защото # 945;. Тогава защото # 945; = (Х1Х2 + y1y2) / (| а | * | б |) = (Х1Х2 + y1y2) / ((+ x1² y1²) (x2² + y2²)) ^ 1/2.

намери ъгъла # 945; използване Bradis таблици.

В случай на триизмерното пространство се добавя към третата координата. За вектори на (х1; y1; Z1) и б (х2; Y2; z2) за формула косинуса на ъгъла е показано на фиг.

Скаларно произведение - е скаларни характерни дължини на векторите и на ъгъла между тях.

Самолетът - един от основните понятия в геометрията. Самолет е повърхност, за които е вярно твърдението, - всяка линия, свързваща две точки на своя изцяло притежавани от тази повърхност. Самолет може да бъде определен от гръцките букви a, β, γ, и т.н. Две равнини винаги се пресичат в една права линия, която принадлежи към двете равнини.

Да разгледаме полуравнина а и Р, образувани от пресичането на две равнини на. Ъгълът, образуван от права линия и две половинки равнини а и β се нарича двустенен ъгъл. В този полуравнина образуване на двустен наречен аспекти, линията на пресичане на равнина на двустенен ъгъл се нарича край.

В двустенен ъгъл като равнинен ъгъл, измерена в градуси. За измерване на двустенен ъгъл е необходимо на лицата си за избор произволна точка О. В двете равнини чрез О се извършват две греди, перпендикулярна на ръба на. Образуваната ъгъл АОВ наречен линеен ъгъл двустен с ръб от.

По този начин, измерването на ъгъла между две пресичащи се плоскости α и р ъгълът да се измерва линеен ∠AOB.

Вектор геометрия се нарича насочена отсечка или подредена двойка точки на Euclidean пространство. Дължината на вектора - скаларна равен на корен квадратен от аритметика сумата от квадратите на координатите (компонент) на вектора.

• Основни познания за геометрията и алгебра.

Косинуса на ъгъла между векторите е намерена от своя скаларен продукт. Сума от продукти на съответните компоненти на вектора равна на произведението на техните дължини от косинуса на ъгъла между тях. Нека двата вектора са: (x1, y1) и б (x2, y2). Тогава скаларен продукт могат да бъдат написани под формата на равенство: х1 * х2 + y1 * Y 2 = | а | * | Б | * COS (U), където U - ъгълът между векторите.

Например, координатите на вектора на (0, 3) и вектор б (3, 4).

Експресиращи получено от уравнение COS (U) се получава, че COS (U) = (х1 * х2 + y1 * y2) / (| а | * | б |). В примера с формула след заместването на известни координати приеме формата: COS (U) = (0 * 3 + 3 * 4) / (| а | * | б |) или COS (U) = 12 / (| а | * | б | ).

Дължината на векторите е с формулите: | а | = (X1 ^ 2 + Y 1 ^ 2) ^ 1/2, | б | = (X2 ^ 2 + Y 2 ^ 2) ^ 1/2. Заместването като координатите на векторите на (0, 3), б (3, 4) се получава, съответно, | а | = 3, | б | = 5.

Замествайки тези стойности на формулата COS на (U) = (x1 * x2 + y2 y1 *) / (| а | * | б |), да получите отговор. Използване на откритите вектори дължина ще се получи, че косинуса на ъгъла между (0, 3), б (3, 4) е равен на: COS (U) = 12/15.

Ако всички преброени правилно, косинус на ъгъла трябва да бъде по-малко от един. Както вектори с дължина не може да бъде отрицателна.

Ако дължината на един от векторите е равна на нула, то тогава е нула вектор, и след това ъгълът между вектора и другият е 90 градуса.

Вектор - линия сегмент насочено с определена дължина. В пространството, се определя от три издатини на съответните оси. Възможно е да се намери ъгълът между вектора и самолета. ако тя се представлява от координатите на своето нормално, т.е. общо уравнение.

Самолет - това е основната фигура на пространствена геометрия, която участва в изграждането на двуизмерни и триизмерни форми, като триъгълници NIK, квадрат, паралелепипед, призма, кръг, елипса, и т.н. Във всеки случай се ограничава до определен набор от линии, които пресичат да образуват затворена форма.

Като цяло, един самолет не е ограничен от нещо, то се простира от двете страни на имиджа си директно. Това безкраен плоска форма, която, обаче, може да се дава с уравнението, т.е. крайни номера, които са координатите на своето нормално вектор.

Въз основа на изложеното по-горе, е възможно да се намери ъгълът между вектора и всеки самолет. като се използва формулата на косинуса на ъгъла между два вектора. Целеви сегменти могат да бъдат разположени в пространството, както се желае, обаче, всеки вектор има такова свойство, което може да се премества без загуба на съществените характеристики него, посока и дължина. И това е необходимо да се използва за изчисляване на ъгъла между векторите на разстояние, като ги поставите в една визуална отправна точка.

По този начин, да предположим, че даден вектор V = (а, б, в) и равнина А • х + B • Y + C • Z = 0, където А, В и С - координатите на нормалната N. Тогава косинуса на ъгъла α между вектори V и N на е равно на: COS α = (а • а + б • б + а • C) / (√ (² + b² + s²) • √ (² + V² + C²)).

За да се изчисли ъгъла в градуси или радиани, трябва да се изчисли на получения израз на обратното на косинус, т.е. аркускосинус: α = arssos ((а • A + B • B + на • C) / (√ (² + b² + s²) • √ (² + V² + C²))).

Пример: получите ъгълът между вектора (5, 3, 8) и равнината. дадена обща уравнение 2 • х - 5 • у + 3 • Z = 0.Reshenie: изпълнява нормалата на равнината координира N = (2, -5, 3). Заменят всички известни стойности в горната формула: COS α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.

Измерване стойностите на равнинен ъгъл в градуси е изобретен в древен Вавилон много преди новата ера. Жителите на този щат предпочита шестдесетичната система номер, така че ъглите разделение на 180 или 360 единици, сега е малко странно. Въпреки това, пребиваващи в модерната система единици SI, които са кратни на пи, не по-малко странни. Тези две възможности не се ограничават до ъгли наименованията, използвани днес, така че задачата на превода им стойности в gradusnuju мярка се случва достатъчно често.

Ако gradusnuju мярка е необходимо да се преобразува ъгъл в радиани, ние се предположи, че един градус съответства на броя на радиани равни на 1/180 част Pi. Тази математическа константа има безкраен брой знака след десетичната запетая, така коефициент за преобразуване от радиани в градуси също е един безкраен десетична дроб. Това означава, че абсолютно точна стойност в десетичен формат не се махна, така че трябва да се закръгли конверсионен фактор. Например, с точност на една милиардна от изчисленото съотношение е равно на единство 0.017453293. След закръгляне нагоре необходимия брой цифри, разделение по този коефициент първоначалния брой радиани, и ще получите ъгъл мярка градуса.

При решаването на математически задачи на секциите, свързани с геометрията, често формула, в която ъглите са изразени не радиани и акции на Пи. Ако получите разтвор, съдържащ тази константа, за да го преобразувате градуса заменят π номер 180. Например, ако централната ъгъл дефинирана чрез изразяване π / 4, това означава, че мярка за неговата степен е 180 ° / 4 = 45 °.

Ъгли могат да бъдат изразени и единици, които се наричат ​​"революция". Това устройство отговаря на 360 °, така че трябва да възникнат проблеми с превръщане. Например, ако ъгълът определяне държави в половин оборот, това съответства на 1.5 * 360 = 540 ° при измерванията на дъгата.

Понякога направо ъгъл се нарича геометрични проблеми. Тя се формира от две греди в противоположни посоки, което е, да лежи на една права линия. Използване на броя 180 за експресията на стойността на прав ъгъл в градуси.

В геодезия, картография, астрономия градуса са разделени на по-малки единици, които имат свои собствени имена - минути и секунди. Това разделение има своите корени в същото място и степени, така че всяка степен включва 60 минути, или 3600 секунди. Използвайте тези номера, когато секунди и минути, трябва да се заменят с една десета от градуса. Например, под ъгъл 11 ° 14'22 "съответства на десетичната част е приблизително равна на 11 + 14/60 + 22/3600 ≈ 11,2394 °.

Вектор в многоизмерно пространство се определя от координатите на своята начална точка и точките, определящи неговата големина и посока. Разликата между двете посоки на вектори определят ъгъл стойност. Често в най-различни проблеми от физиката и математиката са поканени да не се озове на ъгъла, а стойността произтича от него тригонометрични функции - синус.

Използвайте за определяне sinusaugla между два вектора известни формула на скаларни умножение вектори. Такива формули съществуват като две най-малко. В един от тях като променлива участва косинус на желания ъгъл. знаейки, че вие ​​ще бъдете в състояние да се изчисли синус.

Уверете се, равенство и да го изолира от косинус. Съгласно формула на скаларен продукт на векторите е равна на тяхната дължина, умножаване една на друга и косинус на ъгъла. а от друга - на сумата от продукти с координатите по всяка една ос. Приравняването двете формули може да се заключи, че косинус на ъгъла трябва да бъде равна на сумата от продукти от координати спрямо продукта от дължините на векторите.

Запишете полученото уравнение. За това ние трябва да се определят координатите на двата вектора. Да кажем, че те са в триизмерен Декартова координатна система и техните отправни точки преместени в горната част на мрежата. Посоката и величината на първия вектор ще бъде дадена точка (X,, Y₁, Z₁), втори - (X₂, Y₂, Z₂) и писмото на ъгъл γ етикет. Тогава дължината на всеки от векторите могат да бъдат изчислени, например, от Питагоровата теорема за триъгълник, образуван от техните проекции на всяка от координатните оси: √ (X₁² + Y₁² + Z₁²) и √ (X₂² + Y₂² + Z₂²). Заместник тези изрази във формулата формулирани в предишната стъпка, и ще получите уравнението: защото (γ) = (X, * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂) / (√ (X₁² + Y₁² + Z₁²) * √ (X₂² + Y₂² + Z₂²)).

Използвайте факта, че сумата от квадратите на стойностите на синуса и косинуса на ъгъла на същата величина винаги се дава един. Така че, оттеглени, получена в предишната стъпка, изразът за косинус на квадрат и изважда от устройството, а след това намери корен квадратен, вие решавате проблема. Запишете желания формула в общ вид: грях (γ) = √ (1-COS (γ) ²) = √ (1 - ((X, * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂) / (√ (X₁² + Y₁² + Z₁² ) * √ (X₂² + Y₂² + Z₂²)) ²) = √ (1 - ((X, * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂) ² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²) )).

Операции с вектори често водят до затруднения за ученици. Въпреки наличието на ограничен брой формули, с които да работят, някои задачи да причинят сложност и решение. По-специално, не всички ученици са в състояние да изчисли ъгъла между векторите.

Имайте предвид, че при изчисляването на ъгъла между два вектора се свежда до намиране на между векторите. имат обща точка. Това често води до недоразумения, но обясни просто. За два в една равнина вектори започва в един момент, трябва да се направи операция на паралелен транспорт. Но тази процедура не се отразява на желаната стойност.

Забележка общото определение на ъгъла между два вектора. тя ще ви помогне да се установят представа за това, което се изисква в задачата. Тъй като ъгълът - не е абсолютно, но определено действителност обозначаващ най-кратък период от които да се върти вектор (по отношение на неговата начална точка) на codirectional с втората. Важно е да се има предвид, че на желаната стойност на ъгъла трябва да бъде в диапазона от нула до 3.14 радиани.

Не забравяйте, че ако се занимават с лежат на една права или паралелни вектори. ъгъл стойност е нула градуса в случай на ко-посока и 180 - за многопосочни вектори. От това следва от определението, защото трябва да се завърти на втория вектор да промени своята посока.

Използвайте проста формула, която позволява бързо да се изчисли стойността косинус на ъгъла между векторите. За да направите това, което трябва да знаете координатите. Косинус на ъгъла е фракция, в която числителя е скаларен продукт от вектори, и знаменателят - продукта на техните модули. За да намерите първата стойност за векторите с координати А1, А2, А3 и C1, C2, C3, намери сумата от продукти A1C1, a2s2, a3s3. Модул на всеки вектор е в основата на втората силата на сумата от квадратите на координатите.

Обърнете се за помощ електронни калкулатори, които се определят и параметрите на вектори изчисляват необходимия ъгъл.