Вписан и окръжности

Наличие :. Начертайте кръг с център $ O $ и радиус $ OK \ $ От точка $ O $ е на три ъглополовящи, тя е на равни разстояния от двете страни на триъгълника на ABC $ $. Това е $ OM = OK = OL $. Следователно, конструирана кръга също преминава през точка $ M \ и \ L $ на. От $ OM, ОК \ и \ OL $ - нормали до страните на триъгълника, а след това на теоремата на допирателната към окръжност построена допирателната към трите страни на триъгълника. Следователно, по силата на произвол на триъгълник, триъгълник във всеки кръг може да се впише.

Уникалност: Да предположим, че триъгълника ABC $ $, можете да въведете друг кръг с център $ O '$. Неговият център на еднакво разстояние от двете страни на триъгълник, а оттам и съвпада с точка $ O $ и има радиус, равен на дължината на $ OK $ на. Но след този кръг ще съвпадне с първата.

Следствие 1: В центъра на кръга, вписан в триъгълника лежи в пресечната точка на неговите ъглополовящи.

Ето няколко факти, свързани с концепцията за вписан кръг:

Не всеки четириъгълник може да се впише окръжност.

Във всеки тангенциален четириъгълник сумата от противоположните страни са равни.

Ако сумата от противоположните страни на изпъкнал четириъгълник са равни, тогава кръг може да се впише в него.

Описаните окръжности

Ако всички лежат на обиколката на многоъгълник връх, след кръга, описан за нарича многоъгълник (фиг. 3).

Уникалност: Да предположим, че някои триъгълник ABC $ $ е възможно да се опише друг кръг с център $ O '$. Нейният на еднакво разстояние от центъра на върховете на триъгълник, а оттам и съвпада с точка $ O $ и има радиус, равен на дължината на $ ОС. $ Но след този кръг съвпада с първата.

Следствие 1: Център кръга, описан около триъгълник съвпада с пресечната точка на своите midperpendiculars.

Ето още някои факти, свързани с концепцията за описаните окръжности:

За четириъгълника не винаги е възможно да се опише окръжност.

Във всеки цикличен четиристранни сума на противоположните ъгли е равно на $ ^ 0 $.

Ако сумата от противоположните ъгли на четириъгълник е $ ^ 0 $, а след това около него е възможно да се опише окръжност.

Пример проблем на концепцията на описаните окръжности и вписан

В равнобедрен триъгълник основа е 8 см, страничната страна е равна на 5 см. Виж радиуса на вписан кръг.

Помислете за триъгълник ABC $ $. От Следствие 1, знаем, че в центъра на вписан в се намира в пресечната точка на ъглополовящи. Ъглополовящи $ AK $ и $ БМ $, които се пресичат в точка $ O $ на. Начертайте перпендикулярно ОН $ $ в точка $ O $ на страничната $ BC $. Рисуване изобразяват:

Тъй като триъгълник е равнобедрен, а след това на БМ $ $ и медианата и височината. Питагоровата $ ^ 2 ^ 2 ^ 2 \ BM = \ SQRT ^ 2 \ Фрак ^ 2 >> = \ SQRT = \ SQRT = 3 $. $ ОМ = OH = R $ - желания радиус на вписан кръг. Тъй като MC $ $ $ и $ СН сегменти пресичащи тангенти, тогава теоремата на пресичащи допирателни имат $ СН = MC = 4 \ $ cm. Следователно $ BH = 5-4 = 1 \ $ см. $ БО = 3-R $. От триъгълника $ $ OHB, Питагоровата теорема, получаваме: