Уравнения и системи уравнения от първа степен - решение - страница

Уравнения и системи уравнения от първа степен

Две числа или всеки израз, се присъединиха към "=" форма равенството. Ако данните са номер или израз за всички стойности на буквите са равни, то това равенство се нарича идентичност.

Например, когато те казват, че за всяко валидно:

а + 1 = 1 + а. Тук равенството е за самоличност.

Уравнението се нарича уравнение, съдържащо неизвестен брой с букви. Тези писма са посочени като неизвестна. Файл в уравнение може да бъде няколко.

Например, в уравнението 2х + у = 7х - 3 две неизвестни х и у.

Експресията в ляво на уравнение (2х + у) се нарича лявата част на уравнението, и експресията на дясната страна на уравнение (7х - 3), тя се нарича дясна страна.

Стойността на неизвестното, за които уравнението става за самоличност, наречена разтвор или корен на уравнението.

Например, ако в уравнение 3 + 7 = 13, вместо неизвестен брой 2 х заместител получи идентичност. Следователно, стойността х = 2 отговаря това уравнение номер 2 и е разтвор или корен на това уравнение.

Две уравнения се наричат ​​еквивалентни (или еквивалентни), ако всички разтвори на първото уравнение са разтвори на втория и обратно, всички разтвори на второто уравнение са първо решения. Чрез еквивалентно на уравнението са и уравнения не са решения.

Например, Уравнение 2-5 = 11 и 6 + 7х = 62 еквивалент, тъй като те имат същия корен х = 8; уравнение х + 2 = 5, и х + 2х + 7 = 2 еквивалент, тъй като и двете имат не решения.

Имоти еквивалентни на уравнението

За двете страни на уравнението, можете да добавите някоя фраза, която има смисъл за всички възможни стойности на неизвестното; получената уравнение е еквивалентно на това.

Пример. Уравнение 2 - 1 = 7 има корен х = 4. Добавяне на двете страни до 5, ние получаваме уравнението 2х - 1 + 5 = 7 + 5 2 или + 4 = 12, която има същия корен х = 4.

2. Ако двете страни на уравнението са същите членове, те могат да бъдат пропуснати.

Пример. Уравнение 9h + 5x = 18 + 5x има един корен х = 2. Намаляване в двете части на 5х. ние получаваме уравнение = 9х 18, който има същия корен х = 2.

3. Всеки член на уравнението може да се прехвърля от една част от уравнението на друг, да се променя неговият знак.

Пример. Уравнение 7х - 11 = 3 има един корен 2. Ако х = 11 да се премести в дясната страна с обратен знак, ние получаваме уравнението 7х = 3 + 11, която има същия разтвор х = 2.

4. Двете страни на уравнение може да бъде умножена по всеки израз (брой) като смисъл и не-нула за всички допустими стойности на неизвестното, полученият уравнение е еквивалентно на това.

Пример. Уравнение 2-15 = 10 - 3 има корен х = 5. Увеличаването двете страни с 3, получаваме уравнение 3 (2-15) = 3 (10 - 3) или 6х - 45 = 30 - 9h. който има същия корен х = 5.

5. Признаци на всички термини в уравнение може да бъде обърната (това е еквивалентно на умножаване двете страни от (-1)).

Пример. Уравнение - 3 = 7 + - 8 Увеличаването двете страни от (-1) е под формата на 3 - 7 = 8. Първият и вторият уравнения имат уникален корен х = 5.

6. Двете страни на уравнението могат да бъдат разделени в същия брой ненулева (т.е., не е нула).

Пример. Уравнението има две корени: и. Разделяне всички свои членове от 3, получаваме уравнението, което е еквивалентно на това, тъй като тя има същите две корените: а.

7. уравнението в което коефициентите на всички или няколко членове на дробни числа, могат да бъдат заменени от еквивалентни на това уравнения с цели коефициенти, така че двете страни на уравнението трябва да бъдат умножени по-малко общо кратно на знаменателите на фракционните коефициентите.

Пример. Уравнението след умножаване двете страни с 14, е под формата:

. Лесно е да се види, че първата и последната уравнения имат корен х = 10.

Уравненията на първа степен

Уравнението в един неизвестен, който след разширяване скоби и подобни термини, под формата, в която произволен брой, х - неизвестен, се нарича първа степен уравнение с един неизвестен (или линейно уравнение в един неизвестен).

Уравнението от първа степен с едно неизвестно винаги е едно решение; линейно уравнение не може да разтвори () или имат безкрайно множество ().

Пример. Решете уравнението.

Решение. Умножете всички условия на уравнението от малкото общо кратно на знаменателите, равни на 12.

След намаляване получаваме. Ние премахване на скобите на отделни условия, съдържащи неизвестни и абсолютни термини:

Група заедно в една част (вляво) условията, съдържащи неизвестното и от другата страна (вдясно) - свободни условия:

. Подобни условия :. Разделяне двете страни от (-22) добивите х = 7.

Системи за две от първа степен уравнения с две неизвестни

Уравнение на формата, който се нарича уравнението на първа степен с две неизвестни х и у. Ако намери общо решение на две или повече уравнения, които казват, че тези уравнения образуват система за архивиране, обикновено е една над друга и обединени от скоба, например.

Всяка двойка неизвестни стойности, които същевременно да задоволява и двете уравнения на системата, наречена разтвор от системата. Решете системата - това означава намирането на всички решения на тази система и да се покаже, че тя не ги има. Две системи от уравнения се наричат ​​еквивалентно на (еквивалент), ако всички решения, едно от които са разтворите на другата и обратно, всички други решения са първо решения.

Например, разтворът на системата е двойка от числа х = 4 и у = 3. Номерата са също единственото решение на системата. Следователно, тези системи уравнения са еквивалентни.

Методи за решаване на системи уравнения

1. Метод за алгебрични допълнение. Ако коефициентите на някои неизвестни в двете уравнения са равни по абсолютна стойност, след това добавяне на две уравнения (или изваждане един от друг), е възможно да се получи едно уравнение с един неизвестен. Решаването на това уравнение, определи един неизвестен, и го замества в една от системата уравнения е втори неизвестен.

Примери: решаване на системата уравнения: 1).

Ето коефициентите на в абсолютни стойности са равни, но противоположни по знак. За уравнения с едно неизвестно термин уравнение от термин, ние добавяме системата:

Получената стойност х = 4 е заместен във всеки уравнение система, като първата, и намиране на стойността на у. ,

Ние изравняване на коефициентите на х. За тази цел ние размножават първото уравнение с 3, а втората от (- 2) и се добавя получената уравнение.

2. Метод за смяна. От уравнение система на всяка една от neizestnyh разшири през останалата част, а след това замени стойността на неизвестното в останалите уравнения. Помислете за този метод на конкретни примери:

1) решаването на системата от уравнения. Ние изрази уравнението на първия от неизвестни, като х. и замествайки получената стойност X на второто уравнение, ние получаваме уравнение в един неизвестен:

Ние заменен у = 1 в експресията на х. Ние се получи.

2). В този случай е удобно да се изрази във второто уравнение:

. Получената стойност от заместника в първото уравнение и да получат едно уравнение с едно неизвестно х:

Ние заменен стойността х = 5 в израза за у. Ние се получи.

3) решаването на системата от уравнения. От първото уравнение намираме. Заместването на тази стойност в второто уравнение, получаваме уравнение с едно неизвестно у.

Ние заменен у = 5 в експресията на х. получаваме

3. Метод за подмяна. Чрез система от две линейни уравнения с две неизвестни може да доведе до някои нелинейни системи. Това може да стане чрез замяна.

Пример. Решете системата. ,

Може да бъде пренаписана като система :. Ние замени неизвестното, поставяйки, ние получаваме линейна система. От първото уравнение изразяваме непознатото. Заместник стойността на второто уравнение, получаваме уравнение, в един непознат:

. Заместването на стойността на V в израза за тон. Ние се получи. От връзките, които откриваме.

Проучване на системата

Проучване на решения могат да имат система от уравнения, където е - коефициентите на неизвестните - свободни условия.

A) Ако системата има уникално решение.

Б) Ако системата все още няма решения.

Б) Ако системата има безкраен брой решения.

Пример. , В тази система, съотношението на коефициентите за същите неизвестни не са равни (), след това системата има уникален разтвор.

Пример. , В системата, или след намаляване следователно системата все още няма решения.

Пример. , В тази система, или след рязане, това означава, че системата има безкрайно много решения.

Свързани документи:

9,10,11 класове. Първата част на курса (с ученици 17. Повторете свойства степен; действие реални числа в / р и ирационално уравнение sistemyuravneny Повторете с студенти методи за ирационално разтвори уравнения и системи / г .....

sistemauravneny sistemauravneny Дана Дана Дана sistemauravneny sistemauravneny Дана sistemauravneny регресия. В резултат на решението са: Дана sistemauravneny. за да се образува първата част. Напред. ограничение на степента на върха? Когато.

заснет в степен. Рационално експресия. Рационално уравнение. Решението на рационални уравнения (първо представяне). С. степен. напротив, за да се определи броят на корените на уравнението и sistemyuravneny. опростена функционална изразяване, да се намери.

уравнение еквивалентни на уравнение (2). След 2х + 3Y = 7 (1) 9 х-3Y = 48 (3) uravneniyasistemy първоначалната система ще бъде еквивалентна на уравнението. точка. Определение. Uravneniepervoystepeni променливите х и у, т.е. уравнение на форма Ах + на С + С = 0.