тригонометрични уравнения
Тригонометрични уравнения - темата не е най-лесното. Болезнено те са различни), например, са .:
грях 2 х + cos3x = ctg5x
грях (5х + π / 4) = CTG (2x- π / 3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
И така нататък.
Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища има две общи и задължителни функция. Първо - вие няма да повярвате - в уравнения настоящите тригонометрични функции) Второ, всички изрази, с х са вътре повечето от тези функции .. И само там! Ако X появява някъде от външната страна, например, sin2x + 3 х = 3, ще бъде уравнение смесен тип. Тези уравнения изискват индивидуален подход. Тук ние няма да се разгледа.
ние също не отговори на злото на уравнението в този урок.) Тук ние ще се занимава с най-основните тригонометрични уравнения. Защо? Да, защото решението на всички тригонометрични уравнения се състои от два етапа. В първата фаза на зло уравнението от голямо разнообразие от трансформации се редуцира до проста. На втората - да се реши този много прост уравнение. В противен случай - няма начин.
Така че, ако във втория етап имаш проблем - на първия етап от специалните няма смисъл).
Как са елементарни тригонометрични уравнения?
Примери на такива уравнения:
И така нататък. Можете да го получа? От ляво - чисто (без никакви коефициенти) задължително (косинус, тангенс, котангенс), вдясно - на определен брой. В общи линии, ние можем да се пишат прости тригонометрични уравнения по този начин:
Между другото, в функцията не може да бъде чист X, и всеки израз, като например:
и други подобни. Това прави живота труден, но това не се отразява на начина на решаване на тригонометрични уравнения.
Как да решим тригонометрични уравнения?
Тригонометрични уравнения могат да бъдат решени по два начина. Първият начин: с помощта на логиката и тригонометрични кръг. По този начин ние ще разгледаме тук. Вторият начин - с помощта на паметта и формули - обсъдени в следващия урок.
Първият начин е ясна, надеждна, и е трудно да се забрави.) Добре е за решения и тригонометрични уравнения и неравенства, както и всякакви хитри необичайни примери. Logic силна памет!)
Ние решава уравнения с помощта на тригонометрични кръг.
Включи елементарна логика и възможността за използване на тригонометрични кръга. Ти не знаеш как. Въпреки това. Това е трудно, тъй като трябва да се тригонометрията. ) Но това няма значение. Обърнете внимание на уроците на "The тригонометрични кръга. Какво е това?" и "Countdown ъгли на тригонометрични кръга." Всичко е просто. За разлика от учебниците. )
О, да знаеш. И дори усвоили "Практическото работа с тригонометрични кръг." Поздравления. Тази тема ще ви близки и ясно.) Това, което е особено приятен, тригонометрични кръг Няма значение какво уравнение да решите. Sine, косинус, тангенс, котангенс - всичко е едно. Принципът на едно решение.
Така че ние приемаме всички основни тригонометрични уравнение. Най-малко това:
Трябва да намерим X. Говорейки човешки език, да се намери ъгъла (X), чийто косинус е 0.5.
Както преди това сте използвали кръга? Ние привлече върху него от корнер. В градуси или радиани. И веднага видяхме тригонометричните функции на ъгъла. Сега ние правим точно обратното. Равен кръг от косинуса на 0.5 и веднага виж ъгъл. Ще трябва само да напишете отговора.) Да, да!
Начертайте кръг и маркирайте косинус на 0,5. Косинус на оста, разбира се. Ето как:
Сега направи ъгъл, който ни дава косинус. Поставете курсора на мишката върху изображението (или изображения, докоснете на таблета), и вие ще видите същата тази ъгъл х.
Косинус на ъгъла е равна на 0.5?
Ако знаете, че масата за косинус (и трябва да сте наясно от нея), можете спокойно да пишете на адрес:
Някои скептично hmyknet, да. Подобно на това, ако цената на кръга ограда, когато и така всичко е ясно. Можете, разбира се, подгъва. ) Но фактът, че това е - грешен отговор. По-скоро, недостатъчна. Експерти кръг осъзнават, че все още има цял куп ъгли, което също дава косинус на 0,5.
Ако включите мобилния страна ОА на пълен завой. точка А попада в изходна позиция. Тъй косинус е равно на 0,5. Т.е. промяна на ъгъл 360 ° или π 2 радиана и косинус - не. Нов ъгъл от 60 ° + 360 ° = 420 ° ще бъде разтвор от уравнението, защото
Такива пълни обороти могат да бъдат завинтени безкрайни. И всички тези нови кътчета на нашите решения са тригонометрични уравнение. И всички те трябва да по някакъв начин написано в отговора. All. В противен случай, решението не се счита, да. )
Математиката е в състояние да направи това просто и елегантно. В кратък отговор за записване на безкраен брой решения. Ето как изглежда в нашия уравнение:
Дешифрира. Все още пиша по значение по-хубаво от скучните направи някакъв тайнствен bukovki, нали?)
π / 3 - това е ъгълът, който видяхме в кръга и е определено от таблицата на косинус.
2 π - това един пълен оборот в радиани.
п - е броят на пълен, т.е. толкова, колкото и скорост. Разбираемо е, че п може да бъде 0, ± 1, ± 2, ± 3. и така нататък. Както бе посочено по стенография:
Този пост означава, че можете да вземете всяко число п. Най-малко три, най-малко 0, най-малко 55. Какво искате. Ако заместим този номер в регистъра на отговор, можете да получите определен ъгъл, което със сигурност ще бъде строго решение на нашето уравнение.)
Или, с други думи, х = π / 3 - е единственият корен на безкраен набор. За да получите всички останали корени, което е достатъчно, за да пи / 3, за да добавите произволен брой пълни обороти, (п) в радиани. Т.е. 2 π п радиани.
Всичко? Не. Особено много съм участък. За да се помни по-добре.) Ние имам само част от отговора на нашето уравнение. Тази първа част от решението, аз ще пиша тук е как:
x1 - нито един корен, това е поредица от корени, написана кратко форма.
Но има повече ъглови удари, което също дава косинус на 0.5!
Да се върнем към нашата картина, на която да пише отговорите си. Ето го:
Насочваме на мишката върху снимката и да видим друг ъгъл, който също дава косинус на 0,5. Какво мислите, какво е това? Триъгълници са еднакви. Да! Той е равен на ъгъл х. само отлага в отрицателна посока. Този ъгъл -х. Но Х-ние вече са изчислени. π / 3 или 60 °. Така че, можем спокойно да напишете:
И, разбира се, да добавите всички ъгли, които са получени чрез пълна скорост:
Сега всичко.) В тригонометрични кръга, видяхме (кой знае, разбира се)) всички ъгли, давайки на косинус на 0,5. И тези ъгли са записани в кратка математическа форма. В отговор той получи две безкрайна поредица от корени:
Това е правилният отговор.
Надявам се, че общият принцип за решаване на тригонометрични уравнения с помощта на набор от понятия. Забележка на косинуса на кръг (задължително, допирателна, котангенс) от предварително определен уравнение, да ъгли, съответстващи на него и да записва отговора. Разбира се, вие трябва да разберете това, което видяхме в ъглите на кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, аз казах, че се изисква логиката тук.)
Например Нека разгледаме друг тригонометрични уравнения:
Моля, имайте предвид, че броят на 0.5 - не е възможно само в броя на уравнения), аз просто пиша още по-удобно, отколкото корените и фракции !.
Ние работим по общия принцип. Начертайте кръг марка (на задължително ос, разбира се!) 0.5. Рисуване след като всички ъгли, съответстващи на синуса. Тук ние получаваме следната картина:
Първо проучихме с ъгъл х в първи квадрант. Спомняйки задължително маса и да определят размера на този ъгъл. Достатъчно е просто:
Спомняйки си за пълна скорост и с чиста съвест, пишем първия набор от отговорите:
Половината от работата е свършена. И сега това е необходимо да се определят втория ъгъл. Тя е по-хитър, отколкото уют, да. Но логиката ще ни спаси! Как да се определи втори ъгъл по отношение на х? Да, лесно! Триъгълниците в изображението са едни и същи, и червен х ъгъл, равен на ъгъл х. Само че той се брои за П ъгъла в отрицателна посока. Ето защо, в червено.) И ние трябва да отговорим на ъгъла съобразяваме правилно, от положителната половин вол, т.е. ъгълът на 0 градуса.
Витае върху снимката и да видим всичко. Първият ъгъл аз се отстраняват, за да не се усложни картината. Ние сме заинтересовани ъгъл (боядисани зелено) ще бъде:
X знаем е пи / 6. Следователно, вторият ъгъл е:
Отново напомня за добавяне на пълни завъртания и да напише втора серия от отговорите:
Това е всичко. Пълен отговор се състои от две серии от корени:
Уравнение с тангента и котангенс може лесно да бъде решен чрез същата обща принципа на решаване тригонометрични уравнения. Освен ако, разбира се, знаете как да се направи тангента и котангенс на тригонометрични кръг.
В примера по-горе, се използва таблица-ценен синус и косинус: 0.5. Т.е. една от тези стойности, които са необходими да се знае ученикът. И сега ние разширим нашите възможности към всички други ценности. Решете, че да се реши!)
Така че, нека да се реши тук е тригонометрични уравнения:
Това косинус стойности в обобщените таблици там. Хладнокръвно пренебрегнете този ужасен факт. Начертайте кръг отпечатък върху косинус ос 2/3 и направи съответните ъгли. Тук ние получаваме следната картина.
За да се разбере, да започнем с това, с въдица през първото тримесечие. За да знам какво е Х, отговорът веднъж ще записва! Ние не знаем. Неспазването. Спокойно! неговата математика в беда не изхвърляйте! Тя дойде с дъга косинус на инцидента. Аз не знам? Напразно. Разберете какво е дъга синус, косинус дъга? Какво е допирателната дъга, обратна котангенс? Това е много по-лесно, отколкото си мислите. Тази връзка е не трудни магии за "обратни тригонометрични функции" не. Превишение е от определена тематика.
Ако знаете достатъчно, за да кажа за себе си, "X - е ъгълът, чийто косинус е равен на 2/3". Веднага. чисто по дефиниция обратния косинус, ние можем да напишете:
Спомняйки си за допълнителен оборот и спокойно напише първата поредица от нашите корени тригонометрични уравнения:
Почти автоматично записва и втора серия от корени, на втория ъгъл. Всички едно и също, само Х (ARccOS 2/3) е минус:
И всичко! Това е правилният отговор. Даже по-лесно, отколкото таблица стойности. Нищо не трябва да се помнят.) Между другото, най-внимателен, ще забележите, че на снимката с решението от дъгата косинус на нищо по същество не се различава от снимките за cosx = 0,5 на уравнението.
Точно така! Общият принцип на това и общо! Аз специално привлече две почти еднакви снимки. Кръгът ни показва ъгъл х от своята косинус. Таблица е косинус, или не - кръгът е неизвестен. Какъв е този ъгъл, π / 3, или на дъгата косинус на - това е за нас да се вземе решение.
Със задължително една и съща песен. Например:
Re-начертайте кръг, ние отбелязваме синуса, равна на 1/3, начертайте ъгли. Оказва се, че е такава картина:
И картината е почти същият, както за уравнение sinx = 0,5. Отново започва от ъгъла в първи квадрант. Какво е X, ако тя е равна на синуса на 1/3. Не е въпрос!
Тук и готови първите корените на опаковката:
Ние изследвахме втория ъгъл. В примера таблична стойност е равна на 0.5:
Така че тук е точно същото! Просто още X, arcsin 1/3. И така, какво. Вие можете лесно да записвате втория пакет от корени:
Това е абсолютно верен отговор. Въпреки, че това не изглежда познато. Но е ясно, надявам се.)
Това е решен тригонометрични уравнения с помощта на кръга. Този път е ясно и разбираемо. Той беше този, който спасява в тригонометрични уравнения с избора на корените на предварително определени разстояния в тригонометрични неравенства - обикновено се решават почти винаги наоколо. С една дума, всички работни места, които са малко по-трудно стандарт.
Ние се прилагат тези знания в практиката?)
Решете тригонометрични уравнения:
На първо място, просто, директно на този урок.
Ако можеше да го направи - от сърце поздравявам! С такъв багаж могат безопасно да бъдат насладите бърз вариант за решаване на тригонометрични уравнения - чрез формула. Те (формула), просто не слагайте) Освен това, дори и малко обяснение. - А вие сте в състояние да реши тригонометрични неравенства и други трудни задачи на "С".
Предишна страница: Какво е синуса дъга, дъга косинус? Какво е допирателната дъга, обратна котангенс?
Next: Решаването на тригонометрични уравнения.
Ако ви харесва този сайт.
Между другото, аз все още имам няколко интересни сайтове за вас.)
Тук можете да практикувате в решаването на примери и научете вашето ниво. Изследване с незабавно потвърждение. Обучение - с лихвите)!
И тук можете да се запознаете с функциите и производни.