лекция 54

4. триъгълници, правоъгълници, многоъгълници. Формула площ на триъгълник, правоъгълник, успоредник, трапец.

5. кръг, кръг.

Триъгълник - един от най-простите геометрични форми. Но неговото проучване е довела до една наука - тригонометрия, която е резултат от практическите нужди в измерването на земята, картографиране на терена, изграждане на различни механизми.

Триъгълник наречен геометрична фигура, която се състои от три точки не лежат на една права линия, и три двойки свързващи сегменти.

Всеки триъгълник разделя равнината на две части: вътрешни и външни. Фигура състояща се от триъгълник и вътрешността му, също наречен триъгълника (триъгълник или плоски).

Във всеки триъгълник са следните елементи: страни, ъгли, височината на ъглополовящата, медианата, медианите.

Ъгъл триъгълник ABC с връх А е ъгълът, образуван от половин линии AB и AC.

Височината на триъгълника, понижава от даден връх, наречен перпендикуляра съставен от върха на линията съдържащ обратна посока.

Ъглополовяща на триъгълника се нарича дължината на ъгъла на ъглополовяща на триъгълника, свързващ върха до точка на противоположната страна.

Медианата на триъгълника, изготвен от дадена връх, наречен сегмент свързваща горната част до средата на противоположната страна.

В средата на триъгълника е линията, свързваща средите на двете страни.

Триъгълниците се наричат ​​равни, ако съответните им страни и съответните ъгли са равни. Съответните ъгли трябва да са срещу съответните страни.

На практика и в теоретичните конструкции често са признаци на равенство на триъгълници, които осигуряват по-бързо решение на въпроса за отношенията им me5zhdu. Има три признаци:

1. Ако двете страни и на ъгъла между тях на един триъгълник са равни съответно на двете страни и на ъгъла между тях на друг триъгълник, след триъгълници са равни.

2. Ако една страна, за да го и съседните ъгли на триъгълник са равни съответно на страната на и в близост до него от другите ъгли на триъгълника, тези триъгълници са равни.

3. Ако трите страни на един триъгълник са равни съответно на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са равни.

А триъгълник се нарича равнобедрен. ако той има две страни са равни. Тези равни страни се наричат ​​страна и третата страна на триъгълника се нарича основа.

Равнобедрен триъгълници имат редица свойства, като например:

В равнобедрен триъгълник, медианата привлечени към базовите пресича и височина.

Имайте предвид, някои свойства на триъгълници.

1. Сумата на ъглите на триъгълник е 180 °.

От този имот това следва, че най-малко две остри ъгли във всеки триъгълник.

2. средната линия на триъгълника, свързваща средите на двете страни, успоредни на трета страна и равна на неговата половина.

3. Във всеки триъгълник всяка страна е по-малко от сумата на другите две страни.

За правоъгълен триъгълник Питагор "и теорема е вярно: квадрата на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на другите две страни.

Наречен четириъгълник фигура, която се състои от четири точки и четири серийно взаимносвързани сегменти и не три от данните точки не лежат на една права линия, както и техните свързващи сегменти не трябва да се пресичат. Тези точки се наричат ​​върхове на четириъгълник, и свързващите сегменти - на страните.

Всяко четириъгълник равнина разделя на две части: вътрешни и външни. Фигура състояща се от четириъгълник и вътрешността му, също наречен четириъгълник (или четириъгълник плосък).

Върховете на четириъгълника наричат ​​съседни, ако те са в краищата на едната си страна. Върхове, които не са в непосредствена близост, наречени обратното. Линиите, които свързват противоположните върховете на четириъгълник, се наричат ​​диагонали.

Side на четириъгълника, идващи от един връх, наречен съседи. Страни, които нямат обща крайна точка, наречени обратното. В четириъгълник ABCD горния А и Б - противоположни страни AB и BC - съседни, BC и AD - точно обратното; сегменти AC и BD - диагонали на четириъгълника.

Четириъгълници са изпъкнали и не-изпъкнали. По този начин, четириъгълник ABCD - изпъкнала и четириъгълник KRMT - nonconvex. Сред изпъкнал четиристранни изолира паралелограми и трапец.

Паралелограма се нарича четириъгълник чиито противоположни страни са успоредни.

Нека ABCD - успоредник. В горната част на прав спад на перпендикулярно АД BE. Тогава сегмента БЪДАТ се нарича височина на успоредника, съответстваща на BC страни и АД. сегмент

CM - височина на успоредника, съответстваща страни CD и AB.

За опростяване на признаването на успоредник, имайте предвид следното: ако четиристранни диагонали се пресичат и точката на пресичане са разделени на половина, а след това този четириъгълник - успоредник.

Няколко свойства на успоредник, които не се съдържат в своето определение, формулирани под формата на теореми и доказват. Сред тях са:

1. диагоналите на успоредник пресичат и точката на пресичане се разделя на половина.

2. успоредник срещуположните страни и противоположни ъгли са равни.

Нека сега разгледаме дефиницията на трапец и нейните основни свойства.

Акробатика наречен четириъгълник, чиито само две срещуположни страни са успоредни.

Тези успоредни страни се наричат ​​основи на трапец. Другите две страни са наречени странични.

Сегмент свързваща средата на двете страни, се нарича средна линия на трапеца.

В средната линия на трапеца има свойството, че е успоредна на основите, и е равна на половината на сбора от тях.

Parallelograms на множеството отделни правоъгълници и диаманти.

В правоъгълника, се нарича успоредник, в която всички ъгли са прави ъгли.

Въз основа на това определение, ние можем да докажем, че диагоналите на правоъгълника са равни.

Диамантът се нарича успоредник, в която всички страни са равни.

С помощта на тази дефиниция, ние можем да докажем, че диагоналите на ромб се пресичат под прав ъгъл и са ъглополовящи на неговите ъгли.

От множество отделни правоъгълници квадрати.

Площад се нарича правоъгълник, в който всички страни са равни.

От двете страни на площада са равни, то също така е ромб. Следователно квадрата има свойствата на правоъгълник и ромб.

Обобщаване на понятието триъгълник и четириъгълник е концепцията за полигон. Тя се определя от концепцията на прекъснатата линия.

Прекъсната линия # 8321; A * 8322, A * 8323, A н ... се нарича фигура, която се състои от точките A # 8321;, A # 8322 # 8323;, А;, ..., А н и взаимносвързани сегменти A * 8321; A * А 8322;, # 8322; # 8323;, А ..., AN-# 8321; А п. Точка на # 8321;, # 8322;, A A # 8323;, ..., An се наричат ​​върховете на полилиния и сегменти A # 8321; A # 8322;, # 8322 A, A # 8323;, ..., AN-# 8321; AN - неговите връзки.

Ако прекъснатата линия не се пресичат, тя се нарича просто. Ако краищата са едни и същи, а след това се казва, да бъдат затворени. За прекъснатите линии, показани на фигурата може да се каже: а) - прост, б) - прост затворен; в) - затворена начупена линия, не е лесно.

Дължината на прекъснатата линия е сумата от дължините на връзките.

Известно е, че дължината на прекъснатата линия не е по-малко от дължината на отсечката, свързваща краищата си.

Polygon се нарича проста затворена полилиния, ако съседните блокове не лежат на една права линия.

Наречен на върховете на многоъгълника върховете на многоъгълника и неговите звена - страните. Сегменти, свързващи върховете не са в съседство, се наричат ​​диагонали.

Всеки многоъгълник разделя равнината на две части, едната от които е вътрешна, а другата - външната част на многоъгълника (плоска или многоъгълник).

Разграничаване изпъкнали и не-изпъкнал многоъгълник.

А изпъкнал многоъгълник се нарича редовно, ако има всички страни и всички ъгли са равни.

Право е равностранен триъгълник, четириъгълник редовно - на квадрат.

Ъгъл на изпъкнал многоъгълник с даден връх е ъгълът, образуван от страните му конвергенция на този връх.

Известно е, че сумата от ъглите на изпъкнала п-гон е равен на 180 ° • (п - 2).

В геометрия, с изключение на изпъкнала и не-изпъкнал многоъгълник, помисли друга многоъгълна форма.

Polygonal фигура е на Съюза на ограничен набор от полигони.

Полигоните, съставляващи многоъгълна форма, не могат да имат общи вътрешни точки може да има общи вътрешни точки.

Тя се казва, че многоъгълна фигура F се състои от многоъгълни форми, ако това е техния съюз, както и на самите фигури нямат никакви общи вътрешни точки. Например, многоъгълна фигури, показани на фигура а) и в), можем да кажем, че те се състоят от две или многоъгълни форми, които са разделени в две многоъгълна форма.

Кръгът се нарича цифра, която се състои от всички точки в равнината на равно разстояние от дадена точка, наречена център.

Всеки сегмент свързваща точка на окръжността с център се нарича радиусът на кръга. Радиус се нарича още разстоянието от всяка точка на кръга в неговия център.

Сегмент свързване на две точки от окръжността се нарича хорда. Акорд, минаваща през центъра, наречен диаметъра.

Около нарича фигура, която се състои от всички точки в равнината намира на разстояние не по-голямо от дадена точка. Тази точка се нарича центъра на кръга, а това разстояние - радиус на кръга.

Граница на кръга е кръг с един и същ център и радиус.

Припомнете си, някои от свойствата на кръг и на кръга.

Те казват, че правата и окръжността загрижен, ако те имат една обща точка. Тази линия се нарича тангенс и общата точка на правата и окръжността - точката на контакт. Доказано е, че ако линия допирателна към кръга, е перпендикулярна на радиуса провежда до точката на допиране. Обратното също притежава (фиг. А).

Централният ъгъл на кръг се нарича плосък ъгъл в центъра му. Част кръг намира в ъгъла на равнина се нарича дъга от окръжност, съответстващ на този централен ъгъл (ris.b).

Ъгълът чийто връх се намира на кръг, и страните го пресичат, това се нарича вписан кръг (изображение В).

Ъгъл вписан в окръжност, има свойството, че тя е равна на половината от съответното централния ъгъл. По-специално, ъгли, въз основа на диаметъра - прав.

Кръгът е описано около триъгълника се нарича, ако тя преминава през всички върхове.

За да се опише кръг около триъгълника, е необходимо да се намери центъра му. Обикновено разположението му е оправдано от следната теорема:

Център кръг описано за триъгълника е точката на пресичане, перпендикулярна на страните му, изготвени през центъра на страните (Фигура А).

Кръг вписан в триъгълник се нарича, ако това се отнася за всички страни.

Правило за намиране на центъра на такъв кръг е обоснована теорема:

кръга на център вписан в триъгълника, е точката на пресичане на ъглополовящи (ris.b)

По този начин, в средата перпендикулярите и ъглополовящи се пресичат в една точка, съответно. В геометрията показа, че медианите на триъгълника се пресичат в една точка. Тази точка се нарича центърът на тежестта на триъгълника, и пресечната точка на височини - Ортоцентър.

По този начин, в който и да е триъгълник, има четири забележителен точка: центъра на тежестта от центровете на вписаните и окръжности и ортоцентър.

За всеки правилен многоъгълник може да се опише като кръг и правилен многоъгълник във всеки кръг може да се впише, както и центровете на обвързана, като са записани кръгове съвпадат.