Как да се намери ъгълът между векторите

С цел да се даде възможност на нас, за да въведете формула за изчисляване на ъгъла между два вектора, човек трябва първо да разберем самата концепция на ъгъла между тези вектори.

Да предположим, че са дадени два вектора $ \ Номера $ и $ \ Номера $. Вземете в пространството всяка точка $ O $ и въстана против вектори й $ \ Номера = \ Номера $ и $ \ Номера = \ Номера $, тогава ъгъл АОВ $ $ ще се нарича ъгълът между векторите (фиг. 1).

Освен това, ние приемаме, че ако векторите $ \ Номера $ и $ \ Номера $ ще бъде codirectional или едно или и двете от тях ще бъде нулев вектор, ъгълът между тези вектори ще бъде равна на 0 $ ^ \ циркулационната $.

Намирането на ъгъла между векторите чрез използване на вътрешен продукт

Припомнете си, че за пръв път се нарича скаларна продукта и как тя може да се намери.

В скаларен продукт на два вектора ще се нарича скаларна (или няколко), която е равна на произведението от дължината на тези два вектора на косинуса на ъгъла между вектори данни.

Също така, в допълнение към определянето на двата 1, за намиране на скаларен продукт може да се използва следната теорема.

Скаларното произведение на две данни векторите $ \ Номера $ и $ \ Номера $ координира $ (δ_1, β_1, γ_1) $ и $ (δ_2, β_2, γ_2) $, равна на сумата на продуктите от съответните координати.

Математически, както следва

$ \ Номера \ cdot \ Номера = δ_1 δ_2 + β_1 β_2 + γ_1 γ_2 $

Предназначение: $ Номера \ cdot \ Номера $.

С помощта на скаларна продукт, ние можем да намерим косинуса на ъгъла между векторите. Да предположим, че са ни дадени векторите $ \ Номера $ и $ \ Номера $ координати $ (δ_1, β_1, γ_1) $ и $ (δ_2, β_2, γ_2) $, съответно. От определението на 2, че

От Теорема 1, знаем, че $ \ Номера \ cdot \ Номера = δ_1 δ_2 + β_1 β_2 + γ_1 γ_2 $, следователно

Писане на формула дължина на стойностите на векторни от $ | \ Номера | $ и $ | \ Номера | $, ние най-накрая да получат

Математически, това изглежда така:

1. $ | \ Overlineh \ Номера | = | \ Номера || \ Номера | sin⁡∠ (\ Номера, \ Номера) $
2. $ \ Overlineh \ overline⊥ \ Номера $, $ \ overlineh \ overline⊥ \ Номера $
3. $ (\ Overlineh \ Номера \ Номера \ Номера) $ и $ (\ Номера \ Номера \ Номера) $ имат същата ориентация (фиг. 2)

За вектор напречно продукт може да се използва следната формула:

С помощта на вектор продукт, ние можем да намерим синуса на ъгъла между векторите. Да предположим, че са ни дадени векторите $ \ Номера $ и $ \ Номера $ координати $ (δ_1, δ_2, δ_3) $ и $ (β_1, β_2, β_3) $, съответно. От определението на 3 получаваме, че

Намираме вектор векторно произведение на формулата:

$ \ Overlineh \ Номера = \ започне \ Номера \ Номера \ Номера \\ δ_1δ_2δ_3 \\ β_1β_2β_3 \ край = (δ_2 β_3-δ_3 β_2, δ_3 β_1-δ_1 β_3, δ_1 β_2-δ_2 β_1) $