Как да решим тригонометрични уравнения

Тригонометрични уравнение включва един или повече тригонометрични функции на променливата "х" (или всяка друга променлива). Решение на тригонометрични уравнения - е да се намери такава стойност "х", което отговаря на функцията (ите) и уравнението напълно.

• Решаване на тригонометрични уравнения се изразяват в градуси или радиани. примери:

х = π / 3; х = 5π / 6; х = 3π / 2; х = 45 градуса; х = 37.12 градуса; х = 178.37 градуса.

• Забележка: Стойностите на тригонометричните функции на ъгъла, изразени в радиани и ъглите, изразени в градуси, равен. Тригонометрични кръг с радиус, равен на един, се използва за описване на тригонометричните функции, както и да се провери правилността на решението на основните тригонометрични уравнения и неравенства.
• Примери тригонометрични уравнения:
  • грях х + грях 2x = 1/2; TG х + CTG х = 1,732;
  • защото 3x + грях 2x = COS х; 2sin 2х + защото х = 1.

1. Тригонометрични кръг с радиус равен на единица (единица кръг).
   • Окръжност с радиус, равен на един и центриран при О. кръга Единичната 4 описва основния тригонометрична функция на променливата "X", където "х" - ъгъла спрямо оста Х положителна посока на часовниковата стрелка.
   • Ако "х" - някакъв ъгъл на единица кръг, тогава:
   • OAh хоризонтална ос показва функция F (х) = COS х.
   • OVy вертикалната ос показва функция F (х) = грях х.
   • Ординатата посочва AT функция F на (х) = TG х.
   • BU Хоризонталната ос показва функцията F (х) = х CTG.

• кръга на единица се използва и в решаване на основните тригонометрични уравнения и неравенства (в него се обсъждат различни разпоредбите на "х").

стъпки Редактиране

Концепция разтвори на тригонометрични уравнения.

• За решаване на тригонометрични уравнения го превърнат в една или повече основни тригонометрични уравнения. Решение на тригонометрични уравнения в крайна сметка се свежда до решението на четирите основни тригонометрични уравнения.

Решение на основните тригонометрични уравнения.

• Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
• грях х = с; защото х = а
• TG х = с; CTG х = а
• Решение основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различни позиции "х" на единичната окръжност, а с помощта на таблицата за преобразуване (или калкулатор).
• Пример 1. грях х = 0866. С помощта на таблицата за преобразуване (или калкулатор), можете да получите отговор: х = π / 3. кръга на единица дава друг отговор: 2π / 3. Не забравяйте, всички тригонометрични функции са периодични, тоест, техните стойности се повтарят. Например, х периодичност греха и COS х е равен на 2πn, както и честотата и TG х CTG х е равно на πn. Ето защо, отговорът се записва по следния начин:
• X1 = π / 3 + 2πn; Х2 = 2π / 3 + 2πn.
• Пример 2 защото х = -1 / 2. С помощта на таблицата за преобразуване (или калкулатор), можете да получите отговор: х = 2π / 3. кръга на единица дава друг отговор: -2π / 3.
• X1 = 2π / 3 + 2π; Х2 = -2π / 3 + 2π.
• Пример 3. TG (х - π / 4) = 0.
• Отговор: х = π / 4 + πn.
• Пример 4. CTG 2x = 1,732.
• Отговор: х = π / 12 + πn.

Преобразуване използва при решаване на тригонометрични уравнения.

• За да се превърне тригонометрични уравнения с помощта на алгебрични трансформация (факторинг, привеждане на хомогенни условия и т.н.) и тригонометрични идентичност.
• Пример 5. Използване тригонометрични идентичност, уравнение грях х + грях 2х + грях 3x = 0 се трансформира в уравнение 4cos Х * грях (3x / 2) * COS (х / 2) = 0. По този начин, е необходимо да се реши следната основна тригонометрични уравнение: защото х = 0; грях (3x / 2) = 0; COS (х / 2) = 0.

Намирането на ъгли от известните стойности на функции.

• Преди да се разгледат начините за решаване на тригонометрични уравнения трябва да се научите как да се намерят ъглите на известни стойности на функции. Това може да стане с помощта на таблицата за преобразуване или калкулатор.
• Пример: COS х = 0.732. Калкулаторът ще отговори х = 42.95 градуса. кръга на единица дава допълнителни ъгли, което също е равно на косинуса на 0,732.

Поставете решение на единичната окръжност.

• Можете да отложи решаването на тригонометрични уравнението на единичната окръжност. Решения тригонометрични уравнения на единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
• Пример: Разтвор х = π / 3 + πn / 2 на единица кръг са върховете на квадрат.
• Пример: Разтвор х = π / 4 + πn / 3 на единица кръг са върхове на правилен шестоъгълник.

Методи за решаване тригонометрични уравнения.

• Ако даден тригонометрични уравнението съдържа само една тригонометрични функции, да решим това уравнение като основен тригонометрични уравнение. Ако това уравнение включва две или повече тригонометрична функция, има 2 методи за решаване на тези уравнения (в зависимост от възможностите за превръщането му).
  • Метод 1.
• Преобразуване на това уравнение в уравнението на формата: е (х) * г (х) * Н (х) = 0, където е (х), г (х), Н (х) - основния тригонометрични уравнение.
• Пример 6. 2cos х + грях 2x = 0 (0
• Решение. Използване на ъгъл формула 2x двойно грях = 2 * грях х * х COS, замени грях 2x.
• 2sos х + 2 * грях х * защото х = 2cos х * (син х + 1) = 0. Сега изберете два основни тригонометрични уравнение: COS х = 0 и (син х + 1) = 0.
• Пример 7. защото X + COS 2х + защото 3x = 0 (0
• Решение: Използване тригонометрични идентичност, преобразуване на това уравнение в уравнението на формата: COS 2x (2cos х + 1) = 0. Сега изберете два основни тригонометрични уравнение: COS 2x = 0 и (2cos х + 1) = 0.
• Пример 8. грях х - SIN 3x = COS 2x. (0
• Решение: Използване тригонометрични идентичност, преобразуване на това уравнение в уравнението на формата: -cos 2х * (2sin х + 1) = 0. Сега изберете два основни тригонометрични уравнение: COS 2x = 0 и (2sin х + 1) = 0.
  • Метод 2.
• Конвертиране на тригонометрични уравнения, дадено в уравнение, съдържащ само един тригонометрични функции. Тогава замени тригонометрична функция за някои неизвестни, например, т (син х = Т; COS х = Т; защото 2x = т, TG х = Т; TG (х / 2) = Т, и т.н.).
• Пример 9. 3sin ^ 2 х - 2cos ^ 2 х = 4sin х + 7 (0
• Решение. В това уравнение, замени (COS ^ 2 х) от (1 - SIN ^ 2 х) (в зависимост от идентичността). Трансформираната уравнението е както следва:
• 3sin ^ 2 х - 2 + 2sin ^ 2 х - х 4sin - 7 = 0. Замяна грях х за тон. Сега уравнение има формата: 5 тона ^ 2 - 4 тон - 9 = 0. Това е квадратно уравнение с две корени: t1 = -1 и Т2 = 9/5. T2 Вторият кореновата зона не отговаря на стойностите функция (-1
• Пример 10. TG х + 2 2 TG ^ х = CTG х + 2
• Решение. Замяна TG х от т. Препишете първоначалното уравнение в следната форма: (2t + 1) (т ^ 2 - 1) = 0. Сега разбери т, и след това да се х т = TG х.

Специални тригонометрични уравнения.

• Има няколко специални тригонометрични уравнения, които изискват конкретни реформи. примери:
• а * грях X + B * COS х = С; на (син х + х COS) + B * защото х * грях х = с;
• а * грях ^ 2 х + Ь * грях х * х + защото в * защото ^ 2 х = 0

Периодичността на тригонометричните функции.

• Както вече бе споменато, всички тригонометрични функции са периодични, т.е. техните стойности са повторени след определен период. примери:
  • Период функция е (х) = грях х е равно на 2π.
  • Период функция е (х) = TG х е равно на П.
  • Период функция F (х) = грях 2х равни на П.
  • Период функция е (х) = COS (х / 2) е равен на 4π.
• Ако срокът, определен в проблема, се изчисли стойността на "х" в рамките на този период.
• Забележка: Решението на тригонометрични уравнения - не е лесна задача, която често води до грешки. Ето защо, внимателно да проверите отговорите. Може да се използва графичен калкулатора за изграждане на графика на уравнението R (х) = 0 В такива случаи, разтворите са представени като десети (т.е. П заменени с 3.14).